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高中校本課程開發中數學文化的融入

時間:2020-03-30 14:44作者:黃榮
本文導讀:這是一篇關于高中校本課程開發中數學文化的融入的文章,設計意圖從有限和無限的區別再回歸到兩者的聯系,幫助學生認識數學知識的關聯性,凸顯數學文化的趣味性和思想性.最后以希爾伯特旅館問題作為趣味思考題結尾,引導學生學會閱讀、學會抽象、學會思考.

  摘    要: 文章闡述了高中校本課程“數學文化”的實踐與思考.開發與實施該課程時,應著力凸顯“四性”:趣味性、人文性、應用性、思想性,呈現凸顯“四性”的教學案例,并將其作為開發與實施高中數學文化類課程的參考.

  關鍵詞: 數學文化; 校本課程; 課程開發; 教學實踐; 數學任務;

  1 、校本課程“數學文化”研究緣起

  《普通高中數學課程標準(2017年版)》倡導把數學文化融入課程內容,不斷發展學生的數學素養.當前的教學實踐普遍存在著數學文化缺失的現象,因此開發與實施高品質的“數學文化”校本課程具有重要的教學實踐價值.鑒于這樣的認識和考量,近年來,筆者依據學校的辦學特色和學情,在高一年級進行了開發與實施校本課程“數學文化”的實踐性探索,取得了良好的教學效果.現將相關實踐與思考整理成文,敬請同行指正.

  2 、著力凸顯“四性”,構建精品課程

  2.1、 趣味性:引人入勝,品味數學之趣

  在很多學生眼里,數學抽象乏味,并無趣味可言.因此作為校本課程的數學文化課,首要任務就是引領學生品味數學之趣,以數學之趣引人入勝,激發求知之欲.

  以“漫話解析幾何”為例,筆者將守株待兔、笛卡爾之夢、蜘蛛網軼聞、愛心曲線和數學情書等5個饒有趣味的文化素材串聯成章,學生無不覺得數學有趣,陶醉其中.

  以“常數傳奇”為例,在講圓周率π時,筆者以一則故事引出一段諧音妙語收尾:“山巔一寺一壺酒(3.14159),爾樂苦煞吾(26535),把酒吃(897),酒殺爾(932),殺不死(384),遛爾遛死(6264),扇扇刮(338),扇耳吃酒(3279).”稍等片刻,筆者詢問學生是否能夠記住圓周率,話音剛落,就有學生站起來迅速背出圓周率小數點后30位,引發全體學生的喝彩.

  2.2、人文性:超越時空,經歷數學之旅

  追求文理交融、貫通數學古今是數學文化課的內在追求.數學史是數學文化課的重要載體,通過引領學生超越時空疆界,經歷數學之旅,體悟數學知識的發生、發展過程,并以數學家的勵志故事,培養學生的科學精神和人文精神[1].

  以“人生相遇幾何”為例,在講歐氏幾何時,筆者作了如下設計:首先,從歐氏幾何談起,引導學生分析公理化方法的優勢,感受作為理性思維典范的數學學科的強大威力;其次,分析、比較中西傳統數學思維方式的差異,即中國古代數學重實用和算法,西方古希臘重理性演繹;最后,進一步從中西文化差異的大視野下探求背后緣由.這樣的設計層層推進,使得略顯枯燥的公理化體系別開生面,拓寬了學生的視野,給學生思想以震撼.
 

高中校本課程開發中數學文化的融入
 

  以“常數傳奇”為例,在研究自然常數e時,教師引領學生一起走近數學大師歐拉,學習了解“數學英雄”歐拉不平凡的生平和貢獻,之后教師以歐拉身殘志堅、百折不饒的精神激勵學生發揚學校所倡導的求進精神,珍惜大好青春,不斷奮發求進.

  2.3、應用性:探因析理,認識數學之用

  “學習數學到底有什么用”,這是困擾學生的大問題.不解決這個問題,學生很難對數學感興趣,只能是為應付考試而被動地接受數學教育.事實上,數學廣泛應用于社會生活的方方面面.

  以“數學和數學文化”為例,在談到為什么要學習數學文化時,通過“企業招工中的數學問題”“巧用方程思想解決3根導線的問題”“作為數學教授的大學校長”等案例展現“唯有良好的數學素養才能使人終身受益”,引發了學生的共鳴和沉思.

  以“數據與人生設計”為例,教學流程如下:先從生活在大數據時代說起,繼而感受身邊的數據“謊言”,包括“騙人”的平均數、“蒙人”的絕對數、“虛幻”的相對數;再以語言學字頻研究和二戰史實為例講述統計學的應用;最后以案例“公說公有理,婆說婆有理”和選舉悖論結尾,課堂氣氛達到高潮.縱觀整個教學流程,以數學應用為主線,幫助學生充分感受統計學的廣泛應用.

  2.4、思想性:追根求源,領悟數學之魂

  數學文化課不能脫離數學談文化,仍要凸顯課堂的“數學味”,著力提升數學素養.通過精心設計本真問題驅動學生火熱的思考,追根求源,領悟數學知識背后內隱的數學精神、思想和方法.

  以“走進無窮的世界”為例,筆者的設計融入蘇教版高中數學教材必修1的閱讀材料[2],從教師點名時對應思想的應用談起,再到古人樸素的對應思想,繼而自然地將對應思想引入到無限的世界.

  以“不可思議的無理數”為例,筆者設計了以下教學環節:1)從勾股定理說起;2)萬物皆數學說;3)無理數的發現;4)第一次數學危機(西方數、形分離,中國卻有截然不同的處理);5)數系的擴張和危機的解決,感受有理數和無理數的區別;6)強大的反證法.在“無理數的發現”環節,引導學生初步感知、運用反證法證明是無理數,在“強大的反證法”環節,再次回歸、研究反證法,感受、理解、運用反證法,體現了濃厚的“數學味”.

  3.  校本課程“數學文化”案例——“走進無限的世界”

  教學目標感悟數學源于生活,高于生活;經歷對若干悖論和問題的思考,了解從有限到無限的質變,深化對集合和對應思想的理解;發展數學抽象、創新思維等數學素養;培育數學探究、數學閱讀的興趣.

  教學過程

  1)無限:從感知到證明.

  著名數學家外爾曾說:“數學是關于無限的科學.”可是人的感知是有限的,生命是有限的,日常接觸的數字也是有限的,如何能感覺到無限的存在?但確實也有人感到了無限:中國古代《莊子》:一尺之錘,日取其半,萬世不竭;古希臘德謨克利特:一條短短的線段由無數多個點(原子)構成.

  問題1證明有無限多個正整數.

  探究1嘗試證明有無限多個素數.

  設計意圖以數學名言和日常生活的思考引入課題,凸顯人文性,激發學習興趣,初步感知無限的世界.再通過無限問題的反證法證明,初步理解反證法,感悟數學證明的應用性.

  2)嬗變:從有限到無限.

  阿基米德與烏龜賽跑的故事阿基米德是古希臘傳說中跑得很快的神,芝諾卻稱他可以證明:如果讓烏龜先爬出一段距離,那么阿基米德永遠追不上烏龜.

  伽利略的困惑平方數集{1,4,9,…,n2,…是正整數集的真子集,但伽利略知道平方數集中元素個數并不比正整數少.你能給出解釋嗎?

  問題2兩集合一一對應,推出兩集合的元素個數相等;“部分小于全體”,推出兩集合的元素個數不相等,形成悖論.該怎么解釋這個悖論?

  教師引導教室里有50個座位,教師走進教室,看到坐滿了人,無需點名便知聽課人數為50.因為每個人坐一個座位,每個座位都坐一個人,兩者一一對應,從而聽課人數與座位數相等.遠古時代,人類還不會記數.比如養了7只羊,但是羊少了卻能及時發現,你知道他們是怎么做到的嗎?可以用石頭與羊對應,一個石頭對應一只羊,如果不能一一對應,則說明羊少了.

  反思小結在有限集中,部分總是小于全體(《幾何原本》中的公理);在無限集中,部分可以等于全體(無限的本質).

  設計意圖以兩個饒有趣味性和人文性的悖論引發認知沖突,激起求知欲,引發學生的思考討論,再從最樸素的簡單事實出發引導學生打破思維定勢,用對應思想看問題,初步小結出有限與無限的本質區別,凸顯數學文化的思想性.

  問題3構造一個從(0,1)到(0,+∞)的一一對應(函數)(如等).

  問題4 1)1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=_;

  摘    要: 文章闡述了高中校本課程“數學文化”的實踐與思考.開發與實施該課程時,應著力凸顯“四性”:趣味性、人文性、應用性、思想性,呈現凸顯“四性”的教學案例,并將其作為開發與實施高中數學文化類課程的參考.

  反思小結實數加法的結合律在“無限”的情形下不再成立.推而廣之,“有限”時成立的許多命題,或許對“無限”不再成立.

  問題5正整數集是無限集,有理數集也是無限集,那么這兩個無限集哪個元素更多?

  教師引導正整數在數軸上的相應點是稀疏的,而有理數則是密密麻麻的,于是人們猜想:有理數的元素比正整數元素的個數多得多,可是一直未能證明.后來康托爾證明:兩集合可以建立一一對應,即元素個數一樣多.教師鼓勵學生課后查閱資料,自主閱讀.

  設計意圖問題3是一個構造性問題,日常練習中很少見,可發展創新思維;問題4再次引發認知沖突,問題的解決有助于深化對無限的理解,體現數學文化的“數學味”;問題5有較大難度,可謂第3次引發學生的認知沖突,主要起到激發好奇心、引導課外閱讀的功效.

  3)革命:從初等數學到高等數學.

  建立聯系從有限到無限,從初等數學到高等數學,存在諸多重大區別,那么兩者是否有聯系呢?答案是肯定的,如(1)數學歸納法;(2)極限:通過有限的方法,描述無限的過程;(3)無窮級數:通過有限的步驟,求出無限次運算的結果.

  希爾伯特旅館一個擁有“無限個房間”的旅館,并已客滿.對于下列3種情形,旅館主人能否安排客人都住進旅館(“無限個房間”“客滿”分別是什么意思)?

  1)若客滿后又來了1個客人;

  2)若客滿后又來了1個旅游團,且該旅游團有無窮多個客人;

  3)若客滿后又來了1萬個旅游團,且每個旅游團都有無窮多個客人.

  設計意圖從有限和無限的區別再回歸到兩者的聯系,幫助學生認識數學知識的關聯性,凸顯數學文化的趣味性和思想性.最后以希爾伯特旅館問題作為趣味思考題結尾,引導學生學會閱讀、學會抽象、學會思考.

  參考文獻

  [1] 周燕,朱哲.讓理性的數學課堂開出感性之花:淺談數學文化在函數概念教學中的應用[J].中學教研(數學),2017(9):7-9.
  [2] 單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修1)[M].南京:江蘇教育出版社,2012:15.

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